Panduan Teorem Pythagoras: a² + b² = c²
Teorem Pythagoras menyatakan bahawa dalam segitiga bersudut tegak, kuasa dua panjang hipotenus (sisi terpanjang, bertentangan sudut tegak) adalah sama dengan jumlah kuasa dua dua sisi yang lain: a² + b² = c². Pythagoras ialah ahli matematik dan ahli falsafah Greek yang hidup kira-kira 570–495 SM.
Cara Kira Teorem Pythagoras
Teorem Pythagoras dikira dengan mendarabkan setiap sisi segitiga bersudut tegak dengan dirinya sendiri, kemudian menambah hasilnya. Gunakan kalkulator kira Teorem Pythagoras untuk pengiraan segera, atau ikuti langkah manual di bawah.
Dalam segitiga bersudut tegak, tiga sisi dilabelkan a, b, dan c:
- c = hipotenus (sisi terpanjang, bertentangan sudut 90°)
- a dan b = dua sisi pendek yang membentuk sudut tegak
Cara kira hipotenus c apabila a dan b diketahui: c = √(a² + b²)
Cara kira sisi a apabila b dan c diketahui: a = √(c² − b²)
Formula Teorem Pythagoras: a² + b² = c²
Contoh Pengiraan Teorem Pythagoras
Tangga 5 meter bersandar pada dinding. Tapak tangga berada 3 meter dari dinding. Berapa tinggi tangga mencapai dinding?
Maklumat yang diketahui: hipotenus c = 5 m, sisi mendatar a = 3 m. Cari sisi menegak b.
b² = c² − a²
b² = 5² − 3²
b² = 25 − 9 = 16
b = √16 = 4 meterTangga mencapai ketinggian 4 meter pada dinding. Ini ialah triple Pythagoras 3-4-5, paling kerap digunakan dalam kerja ukur dan pembinaan. Lihat juga kalkulator segitiga untuk pengiraan sisi dan sudut segitiga lain.
Apa itu Teorem Pythagoras?
Teorem Pythagoras ialah pernyataan matematik yang menghubungkan tiga sisi segitiga bersudut tegak: kuasa dua hipotenus sama dengan jumlah kuasa dua dua sisi yang lain.
Nama teorem ini diambil daripada Pythagoras of Samos, ahli matematik Greek yang hidup sekitar 570–495 SM. Namun hubungan matematik ini sudah diketahui lebih awal. Tablet tanah liat Babylon bertarikh 1800 SM sudah mencatat senarai triple Pythagoras. Teks India kuno Sulba Sutras (sekitar 800–600 SM) juga mendokumentasikan hubungan yang sama. Pythagoras dikreditkan kerana menyediakan pembuktian deduktif formal pertama yang direkodkan.
Mengapa Teorem Pythagoras Penting?
Teorem Pythagoras penting kerana ia menjadi asas kepada pengiraan jarak dalam dua dan tiga dimensi. Tanpa teorem ini, pengiraan dalam pembinaan, navigasi, kejuruteraan, dan teknologi digital tidak dapat dilakukan dengan tepat. Formula a² + b² = c² kelihatan ringkas, tetapi ia muncul dalam hampir setiap bidang yang melibatkan geometri dan jarak, daripada kerja ukur tanah hingga pemprosesan imej komputer.
Triple Teorem Pythagoras
Triple Pythagoras ialah tiga nombor bulat positif yang memenuhi formula a² + b² = c². Tiga triple yang paling kerap digunakan:
| Triple (a, b, c) | Semakan | Kegunaan |
|---|---|---|
| 3, 4, 5 | 9 + 16 = 25 ✓ | Pembinaan, ukur tanah |
| 5, 12, 13 | 25 + 144 = 169 ✓ | Kerangka bumbung, tangga |
| 8, 15, 17 | 64 + 225 = 289 ✓ | Kejuruteraan awam |
Triple 3-4-5 paling popular kerana mudah diingat dan diukur di tapak bina. Tukang bangunan menggunakannya untuk semak sudut 90° tanpa alat khas: ukur 3 unit di satu arah, 4 unit di arah lain, dan pastikan pepenjuru berukuran tepat 5 unit.
Aplikasi Teorem Pythagoras
Pembinaan: Kontraktor menggunakan triple Pythagoras untuk memastikan sudut tegak pada asas bangunan, kerangka bumbung, dan pemasangan jubin. Kesilapan satu sentimeter pada sudut tegak akan membesar apabila bangunan dibina lebih tinggi.
GPS dan navigasi: Sistem GPS mengira jarak antara dua titik menggunakan perluasan 3D formula Teorem Pythagoras: d = √(Δx² + Δy² + Δz²). Navigasi marin dan udara juga bergantung pada prinsip yang sama untuk kira laluan terpendek.
Saiz skrin: Televisyen dan monitor komputer diukur secara pepenjuru. Dengan nisbah aspek dan saiz pepenjuru, dimensi sebenar skrin boleh dikira menggunakan Teorem Pythagoras. TV 55 inci dengan nisbah 16:9 mempunyai lebar kira-kira 121.7 cm dan tinggi 68.5 cm. Gunakan kalkulator formula jarak untuk kira jarak antara dua titik koordinat.
| Triple Pythagoras (a, b, c) | Semakan: a² + b² | Kegunaannya |
|---|---|---|
| 3, 4, 5 | 9 + 16 = 25 ✓ | Paling biasa dalam pembinaan |
| 5, 12, 13 | 25 + 144 = 169 ✓ | Kerangka bumbung, tangga |
| 8, 15, 17 | 64 + 225 = 289 ✓ | Kejuruteraan awam |
| 7, 24, 25 | 49 + 576 = 625 ✓ | Geometri koordinat |
| 20, 21, 29 | 400 + 441 = 841 ✓ | Pelan arkitektur |
| 9, 40, 41 | 81 + 1600 = 1681 ✓ | Matematik peringkat tinggi |
Soalan Lazim
A Teorem Pythagoras ialah pernyataan matematik yang menyatakan bahawa dalam segitiga bersudut tegak, kuasa dua hipotenus (sisi terpanjang, bertentangan sudut 90°) sama dengan jumlah kuasa dua dua sisi yang lain: a² + b² = c². Hubungan ini berlaku untuk setiap segitiga bersudut tegak tanpa pengecualian.
A Cara kira Teorem Pythagoras bergantung pada nilai yang diketahui. Untuk mencari hipotenus c: c = √(a² + b²). Untuk mencari sisi a: a = √(c² − b²). Masukkan nilai yang diketahui ke dalam formula, kira kuasa dua, tambah atau tolak, kemudian ambil punca kuasa dua. Gunakan kalkulator kira Teorem Pythagoras di atas untuk hasil segera.
A Hipotenus ialah sisi terpanjang dalam segitiga bersudut tegak. Ia sentiasa bertentangan dengan sudut tegak (90°). Dalam formula a² + b² = c², huruf c mewakili hipotenus. Cara mudah mengenal pasti hipotenus: cari sudut 90° dalam segitiga, kemudian sisi yang berhadapan dengannya itulah hipotenus.
A Teorem Pythagoras penting kerana ia digunakan dalam pembinaan (semak sudut tegak), navigasi dan GPS (kira jarak antara dua titik), saiz skrin (ukur pepenjuru TV dan monitor), kejuruteraan, dan fizik. Tanpa Teorem Pythagoras, banyak pengiraan jarak dan geometri dalam kehidupan harian tidak dapat dilakukan dengan tepat.
A Tidak. Teorem Pythagoras hanya berlaku untuk segitiga bersudut tegak, iaitu segitiga yang mempunyai tepat satu sudut 90°. Untuk segitiga lain (cakah atau tirus), gunakan Hukum Kosinus: c² = a² + b² − 2ab cos(C). Walau bagaimanapun, formula a² + b² = c² boleh digunakan untuk menguji sama ada tiga panjang sisi membentuk segitiga bersudut tegak.