Kalkulator Integral: Kamiran Fungsi
Integral adalah operasi dalam kalkulus yang merupakan proses sebalik pembezaan (derivatif). Integral tak tentu menghasilkan fungsi asal (tambah pemalar C), manakala integral tentu mengira luas kawasan di bawah graf antara dua titik.
Apakah Integral?
Integral adalah operasi asas dalam kalkulus integral. Secara geometri, integral tentu bagi fungsi f(x) dari a ke b mewakili luas kawasan di bawah graf f(x) antara x = a dan x = b.
Terdapat dua jenis integral: integral tak tentu (menghasilkan fungsi dengan pemalar C) dan integral tentu (menghasilkan nilai berangka).
Formula Integral Asas
∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n+1) + C (untuk n ≠ -1)
Ini adalah petua paling penting dalam pengiraan integral polinomial. Prinsipnya adalah sebaliknya daripada pembezaan, tambah eksponen sebanyak satu, kemudian bahagikan dengan eksponen baharu.
Kaedah Kamiran Lanjutan
Kamiran dengan Penggantian (Substitution): Gantikan sebahagian ungkapan dengan pemboleh ubah baharu untuk memudahkan pengiraan.
Kamiran Bahagian (Integration by Parts): ∫u dv = uv - ∫v du
Cara Menggunakan Jadual Rujukan
Cari fungsi yang ingin dikamirkan dalam lajur pertama jadual di atas. Formula dalam lajur kedua memberikan integral tak tentunya. Jangan lupa tambah pemalar integrasi C untuk semua integral tak tentu. Untuk integral tentu, gunakan Teorem Asas Kalkulus.
| Fungsi f(x) | Integral ∫f(x)dx | Syarat |
|---|---|---|
| xⁿ | xⁿ⁺¹/(n+1) + C | n ≠ -1 |
| 1/x | ln|x| + C | x ≠ 0 |
| sin(x) | -cos(x) + C | , |
| cos(x) | sin(x) + C | , |
| tan(x) | -ln|cos(x)| + C | , |
| eˣ | eˣ + C | , |
| aˣ | aˣ/ln(a) + C | a > 0, a ≠ 1 |
| ln(x) | x·ln(x) - x + C | x > 0 |
| 1/(x²+a²) | (1/a)·arctan(x/a) + C | a ≠ 0 |
| √x | (2/3)x^(3/2) + C | x ≥ 0 |
Soalan Lazim
A Integral adalah operasi dalam kalkulus yang merupakan proses sebalik pembezaan (derivatif). Integral tak tentu menghasilkan fungsi asal (tambah pemalar C), manakala integral tentu mengira luas kawasan di bawah graf antara dua titik.
A Integral tak tentu menghasilkan fungsi umum dengan pemalar integrasi C (contoh: ∫2x dx = x² + C). Integral tentu pula mengira nilai berangka bagi luas antara dua had, ditulis sebagai ∫[a,b] f(x) dx.
A Gunakan Petua Kuasa untuk Integral: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n+1) + C, dengan syarat n ≠ -1. Contoh: ∫x³ dx = x⁴/4 + C. Untuk n = -1, ∫(1/x) dx = ln|x| + C.
A Integral digunakan untuk mengira luas, isipadu, jarak dari halaju, kerja dalam fizik, penggunaan ubat dalam bidang perubatan, dan jumlah keuntungan dalam ekonomi dari kadar keuntungan sesaat.