Kalkulator Derivatif: Pembezaan Fungsi
Derivatif (atau pembezaan) adalah ukuran kadar perubahan sesuatu fungsi terhadap pemboleh ubahnya. Ia mewakili kecerunan garis tangen kepada lengkung pada sesuatu titik. Derivatif f(x) ditulis sebagai f'(x) atau dy/dx.
Cara Kira Derivatif
Derivatif dikira dengan membezakan fungsi terhadap pemboleh ubahnya menggunakan peraturan pembezaan yang ditetapkan. Cara kira derivatif yang paling kerap digunakan ialah Petua Kuasa, yang digunakan pada fungsi dalam bentuk xⁿ.
Langkah cara kira derivatif menggunakan Petua Kuasa:
- Kenal pasti eksponen n dalam fungsi xⁿ
- Darabkan pekali semasa dengan nilai n
- Kurangkan eksponen sebanyak satu: n menjadi n-1
Kalkulator kira derivatif pada halaman ini menyediakan jadual rujukan untuk fungsi biasa. Untuk pengamiran pula, rujuk Kalkulator Integral.
Formula Derivatif: d/dx(xⁿ) = n·xⁿ⁻¹
Contoh Pengiraan Derivatif
Formula kira derivatif berbeza mengikut jenis fungsi. Berikut tiga contoh lazim:
Contoh 1: Derivatif x³
Gunakan Petua Kuasa. Eksponen ialah 3, maka n = 3.
d/dx(x³) = 3·x³⁻¹ = 3x²
Contoh 2: Derivatif sin(x)
Derivatif fungsi sinus ialah kosinus, ini nilai tetap dalam jadual trigonometri.
d/dx(sin x) = cos(x)
Contoh 3: Derivatif eˣ
Fungsi eksponen semula jadi adalah unik kerana derivatifnya sama dengan fungsi asal.
d/dx(eˣ) = eˣ
Ketiga-tiga contoh pengiraan derivatif ini menunjukkan bahawa setiap jenis fungsi mempunyai peraturan pembezaan sendiri.
Apa itu Derivatif?
Derivatif ialah ukuran kadar perubahan sesuatu fungsi terhadap pemboleh ubahnya. Dalam kalkulus, derivatif f’(x) pada sesuatu titik mewakili kecerunan garis tangen kepada graf f(x) pada titik tersebut.
Derivatif ditulis dalam beberapa notasi: f’(x), dy/dx, atau Df(x). Tiga notasi ini membawa maksud yang sama.
Konsep derivatif berkait rapat dengan had (limit). Definisi formal derivatif menggunakan Kalkulator Had untuk mengira nilai f’(x) apabila selang masa mendekati sifar.
Mengapa Derivatif Penting?
Derivatif digunakan dalam banyak bidang kerana ia mengukur perubahan secara tepat. Dalam fizik, derivatif kedudukan terhadap masa menghasilkan halaju, dan derivatif halaju menghasilkan pecutan. Dalam ekonomi, derivatif fungsi kos membantu mencari titik pengeluaran yang optimum. Dalam kejuruteraan, derivatif digunakan untuk menganalisis tegasan struktur dan aliran bendalir. Kira derivatif dengan betul adalah kemahiran asas dalam semua bidang sains dan teknikal.
Kaedah Pembezaan Derivatif
Terdapat tiga kaedah pembezaan derivatif yang paling penting:
Petua Kuasa (Power Rule)
Digunakan untuk fungsi dalam bentuk xⁿ. Formula: d/dx(xⁿ) = n·xⁿ⁻¹. Contoh: derivatif x⁵ ialah 5x⁴. Ini kaedah yang paling kerap digunakan untuk kira derivatif fungsi polinomial.
Petua Rantai (Chain Rule)
Digunakan untuk fungsi komposit g(f(x)). Formula: d/dx[g(f(x))] = g’(f(x)) · f’(x). Contoh: derivatif sin(x²) ialah cos(x²) · 2x. Petua Rantai membolehkan kita kira derivatif fungsi bersarang.
Petua Hasil (Product Rule)
Digunakan apabila dua fungsi didarabkan. Formula: d/dx[u·v] = u’v + uv’. Contoh: derivatif x·sin(x) ialah sin(x) + x·cos(x). Fungsi eksponen seperti Kalkulator Eksponen sering melibatkan Petua Hasil dalam pengiraan lanjutan.
| Fungsi f(x) | Derivatif f'(x) | Contoh |
|---|---|---|
| xⁿ | n·xⁿ⁻¹ | x³ → 3x² |
| sin(x) | cos(x) | sin(x) → cos(x) |
| cos(x) | -sin(x) | cos(x) → -sin(x) |
| tan(x) | sec²(x) | tan(x) → sec²(x) |
| eˣ | eˣ | eˣ → eˣ |
| aˣ | aˣ · ln(a) | 2ˣ → 2ˣ·ln(2) |
| ln(x) | 1/x | ln(x) → 1/x |
| log_a(x) | 1/(x·ln(a)) | log₂(x) → 1/(x·ln2) |
| √x | 1/(2√x) | √x → 1/(2√x) |
| 1/x | -1/x² | 1/x → -1/x² |
Soalan Lazim
A Derivatif ialah ukuran kadar perubahan sesuatu fungsi terhadap pemboleh ubahnya. Secara geometri, ia mewakili kecerunan garis tangen kepada graf fungsi pada sesuatu titik. Derivatif f(x) ditulis sebagai f'(x) atau dy/dx.
A Cara kira derivatif bergantung pada bentuk fungsi. Untuk fungsi xⁿ, gunakan Petua Kuasa: darabkan pekali dengan eksponen, kemudian kurangkan eksponen sebanyak satu. Formula kira derivatif: d/dx(xⁿ) = n·xⁿ⁻¹. Untuk fungsi trigonometri dan eksponen, rujuk jadual derivatif standard.
A Petua Kuasa menyatakan bahawa derivatif xⁿ ialah n·xⁿ⁻¹. Sebagai contoh, derivatif x³ ialah 3x², derivatif x² ialah 2x, dan derivatif x ialah 1. Ini adalah kaedah pembezaan paling asas dalam kalkulus.
A Derivatif penting kerana ia mengukur kadar perubahan sesuatu kuantiti. Dalam fizik, derivatif kedudukan terhadap masa menghasilkan halaju. Dalam ekonomi, derivatif fungsi kos membantu mencari titik keuntungan optimum. Dalam kejuruteraan, derivatif digunakan untuk menganalisis tegasan dan aliran.
A Derivatif mengukur kadar perubahan fungsi, manakala integral mengukur jumlah terkumpul di bawah lengkung fungsi. Kedua-duanya berkaitan melalui Teorem Asas Kalkulus: pembezaan dan pengamiran adalah operasi songsang antara satu sama lain.