Kalkulator Fibonacci: Cari Nombor Fibonacci Ke-N
Jujukan Fibonacci ialah siri nombor di mana setiap nombor adalah jumlah dua nombor sebelumnya: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, ... Ia dinamakan sempena Leonardo Fibonacci, ahli matematik Itali abad ke-13 yang memperkenalkannya kepada dunia Eropah.
Cara Kira Fibonacci
Fibonacci dikira dengan menambah dua nombor sebelumnya dalam jujukan. Cara kira Fibonacci menggunakan kaedah rekursif bermula dari F(1) = 1 dan F(2) = 1, kemudian setiap nilai berikut diperoleh melalui rumus F(n) = F(n-1) + F(n-2). Kaedah ini mudah difahami tetapi memerlukan pengiraan semua nilai terdahulu sebelum mencapai n yang dikehendaki.
Untuk kira Fibonacci bagi nilai n yang besar, formula kira Fibonacci yang lebih cekap ialah Formula Binet. Formula ini digunakan oleh kalkulator eksponen dan aplikasi matematik lain kerana ia menghasilkan jawapan terus tanpa perlu melalui semua nilai sebelumnya. Formula Binet bergantung pada Nisbah Emas φ (phi) ≈ 1.6180, satu pemalar yang muncul dari hubungan antara nombor-nombor dalam jujukan ini.
Formula Fibonacci: F(n) = F(n-1) + F(n-2)
Contoh Pengiraan Fibonacci
Untuk cari F(10), mulakan dari nilai asas dan kira satu demi satu. F(1) = 1, F(2) = 1, F(3) = 2, F(4) = 3, F(5) = 5, F(6) = 8, F(7) = 13, F(8) = 21, F(9) = 34, F(10) = 55. Setiap langkah hanya memerlukan penambahan dua nombor sebelumnya.
Dengan Formula Binet, kira Fibonacci F(10) terus: F(10) = φ¹⁰ ÷ √5 = (1.6180)¹⁰ ÷ 2.2361 ≈ 122.99 ÷ 2.236 ≈ 55. Nilai 55 ini ialah nombor Fibonacci ke-10 yang tepat. Kalkulator kira Fibonacci di atas menggunakan pendekatan Binet ini untuk semua nilai n dari 1 hingga 70.
Kaedah yang sama boleh digunakan untuk mana-mana nilai n. Sekiranya anda pernah guna kalkulator logaritma untuk selesaikan masalah eksponen, prinsip menggunakan formula tertutup menggantikan iterasi berulang adalah sama di sini.
Apa itu Fibonacci?
Fibonacci ialah jujukan nombor di mana setiap nilai adalah hasil tambah dua nilai sebelumnya. Jujukan penuh bermula: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, dan seterusnya tanpa had. Nama jujukan ini merujuk kepada Leonardo Fibonacci, ahli matematik Itali abad ke-13 yang memperkenalkannya kepada Eropah melalui buku Liber Abaci (1202). Fibonacci sendiri pun mengakui bahawa jujukan ini sudah diketahui dalam matematik India berabad sebelumnya.
Cara tukar kedudukan n kepada nombor Fibonacci boleh dilakukan secara manual atau melalui kalkulator. Kalkulator kira Fibonacci di halaman ini menerima nilai n dari 1 hingga 70 dan mengembalikan nombor yang tepat serta-merta.
Mengapa Fibonacci Penting?
Fibonacci penting kerana Nisbah Emas φ yang terhasil dari jujukan ini muncul dalam rekaan semula jadi, seni bina, dan analisis kewangan. Dalam pasaran saham, paras pembetulan Fibonacci (23.6%, 38.2%, 61.8%) digunakan untuk mengenal pasti titik sokongan harga. Dalam biologi, pertumbuhan sel dan cabang pokok sering mengikut pola Fibonacci kerana ia mewakili pengagihan ruang yang paling cekap. Ini menjadikan Fibonacci bukan sekadar nombor matematik tetapi alat praktikal dalam pelbagai bidang.
Nombor Fibonacci dan Nisbah Emas
Fibonacci dikaitkan rapat dengan Nisbah Emas φ ≈ 1.6180. Bahagikan mana-mana nombor Fibonacci dengan nombor sebelumnya, hasilnya semakin menghampiri φ. Lihat kalkulator antilog untuk memahami bagaimana kuasa eksponen seperti φⁿ dikira dalam konteks saintifik.
| Pasangan Fibonacci | Nisbah |
|---|---|
| 5 ÷ 3 | 1.6667 |
| 13 ÷ 8 | 1.6250 |
| 55 ÷ 34 | 1.6176 |
| 233 ÷ 144 | 1.6181 |
| 987 ÷ 610 | 1.6180 |
Semakin tinggi nilai n, semakin rapat nisbah menghampiri φ = 1.61803398875. Pada F(15) ke atas, perbezaan dari φ sudah terlalu kecil untuk kelihatan dalam 4 angka perpuluhan.
| Kedudukan (n) | Nombor Fibonacci | Nisbah F(n)/F(n-1) |
|---|---|---|
| 1 | 1 | , |
| 2 | 1 | 1.0000 |
| 3 | 2 | 2.0000 |
| 5 | 5 | 1.6667 |
| 8 | 21 | 1.6154 |
| 10 | 55 | 1.6176 |
| 15 | 610 | 1.6180 |
| 20 | 6,765 | 1.6180 |
Soalan Lazim
A Fibonacci ialah jujukan nombor di mana setiap nombor adalah hasil tambah dua nombor sebelumnya: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55. Ia dinamakan sempena Leonardo Fibonacci, ahli matematik Itali abad ke-13 yang memperkenalkannya kepada Eropah melalui buku Liber Abaci (1202).
A Cara kira Fibonacci paling mudah: tambah dua nombor sebelumnya. F(n) = F(n-1) + F(n-2). Untuk nilai besar, guna Formula Binet: F(n) = φⁿ ÷ √5, di mana φ ≈ 1.6180. Kalkulator kira Fibonacci di atas menggunakan formula Binet untuk hasil segera.
A Bahagikan mana-mana nombor Fibonacci dengan nombor sebelumnya, nisbahnya menghampiri φ ≈ 1.6180. Contoh: 55 ÷ 34 = 1.6176, 89 ÷ 55 = 1.6182. Semakin besar nilainya, semakin dekat ke Nisbah Emas tepat.
A Fibonacci penting kerana jujukannya muncul dalam pertumbuhan semula jadi, seni bina, dan analisis kewangan. Nisbah Emas yang terhasil dari Fibonacci digunakan dalam rekaan grafik, analisis teknikal pasaran saham, dan kajian biologi.
A Fibonacci muncul dalam kelopak bunga (3, 5, 8, atau 13 kelopak), heliks bunga matahari (34 ke kiri, 55 ke kanan), sisik nanas (8 baris dan 13 baris), cangkerang nautilus, dan percabangan pokok. Corak ini berlaku kerana pertumbuhan semula jadi mengikut nisbah yang paling cekap.