Kalkulator Derivatif: Pembezaan Fungsi
Derivatif (atau pembezaan) adalah ukuran kadar perubahan sesuatu fungsi terhadap pemboleh ubahnya. Ia mewakili kecerunan garis tangen kepada lengkung pada sesuatu titik. Derivatif f(x) ditulis sebagai f'(x) atau dy/dx.
Apakah Derivatif?
Derivatif adalah konsep asas dalam kalkulus yang mengukur kadar perubahan sesuatu fungsi. Secara geometri, derivatif f’(x) pada titik tertentu mewakili kecerunan garis tangen kepada graf f(x) pada titik tersebut.
Derivatif ditulis dalam pelbagai notasi: f’(x), dy/dx, Df(x), atau ẏ (dalam konteks masa).
Kaedah Pembezaan Asas
Petua Kuasa: d/dx(xⁿ) = n·xⁿ⁻¹
Ini adalah kaedah paling asas dan kerap digunakan. Darabkan eksponen dengan fungsi, kemudian kurangkan eksponen sebanyak satu.
Petua Penting Lain
Petua Rantai: Untuk fungsi komposit g(f(x)), derivatifnya ialah g’(f(x)) · f’(x).
Petua Hasil: d/dx[u·v] = u’v + uv’
Petua Hasil Bahagi: d/dx[u/v] = (u’v - uv’) / v²
Cara Menggunakan Jadual Rujukan
Jadual di atas menyenaraikan derivatif bagi fungsi-fungsi biasa dalam matematik. Cari fungsi yang anda ingin bezakan dalam lajur pertama, kemudian baca derivatifnya dalam lajur kedua. Untuk fungsi yang lebih kompleks, gunakan kombinasi kaedah-kaedah di atas.
| Fungsi f(x) | Derivatif f'(x) | Contoh |
|---|---|---|
| xⁿ | n·xⁿ⁻¹ | x³ → 3x² |
| sin(x) | cos(x) | sin(x) → cos(x) |
| cos(x) | -sin(x) | cos(x) → -sin(x) |
| tan(x) | sec²(x) | tan(x) → sec²(x) |
| eˣ | eˣ | eˣ → eˣ |
| aˣ | aˣ · ln(a) | 2ˣ → 2ˣ·ln(2) |
| ln(x) | 1/x | ln(x) → 1/x |
| log_a(x) | 1/(x·ln(a)) | log₂(x) → 1/(x·ln2) |
| √x | 1/(2√x) | √x → 1/(2√x) |
| 1/x | -1/x² | 1/x → -1/x² |
Soalan Lazim
A Derivatif (atau pembezaan) adalah ukuran kadar perubahan sesuatu fungsi terhadap pemboleh ubahnya. Ia mewakili kecerunan garis tangen kepada lengkung pada sesuatu titik. Derivatif f(x) ditulis sebagai f'(x) atau dy/dx.
A Gunakan Petua Kuasa: d/dx(xⁿ) = n·xⁿ⁻¹. Contoh: derivatif x⁴ ialah 4x³. Derivatif x² ialah 2x. Derivatif x ialah 1.
A Terdapat beberapa kaedah utama: Petua Kuasa (xⁿ → nxⁿ⁻¹), Petua Rantai (pembezaan fungsi komposit), Petua Hasil (d/dx[uv] = u'v + uv'), dan Petua Hasil Bahagi (d/dx[u/v] = (u'v - uv')/v²).
A Derivatif digunakan untuk mencari nilai maksimum dan minimum fungsi, mengira halaju dan pecutan dalam fizik, mengoptimumkan keuntungan dalam ekonomi, serta menganalisis kadar pertumbuhan dalam biologi dan kewangan.